Департамент информационной инженерии,
Технологический институт Маэбаси,
г. Маэбаси, преф. Гумма, Япония.
(c) Symmetry Foundation. Оцифровано в 2004 году с разрешения издателя. eng→rus: shogi.ru, Д.К., январь 2008 версия 15.6.19
Англоязычная версия данного материала была оцифрована для включения в Цифровую библиотеку этноматематики (EDL) [грант DUE0121749] по программе Тихоокеанских ресурсов обучения (PREL). EDL спонсируется Национальным научным фондом в качестве части Национальной цифровой библиотеки STEM (www.ndsl.org).
Окумура Х. (2001). Японская математика [специальный выпуск издания "Симметрия: культура и наука"].
Симметрия в этноматематике, 12(1-2), 79-86, Будапешт, Венгрия, Международный фонд симметрии.
Японская математика, развивавшаяся в период Эдо (1603-1867), называется васан. Она основана на китайских математических книгах, пришедших в Японию в конце XVI века, когда Хидэёси, правитель Японии, завоевал Корейский полуостров. Такакадзу (или Кова) Сэки (1642?-1708) улучшил китайский способ алгебраических вычислений определителей, сделав возможным разрешение систем уравнений с большим числом неизвестных. После этого японская математика стала очень быстро развиваться по своему собственному, оригинальному пути.
Имеются два обстоятельства, ускоривших развитие васан. Первое — идаи: задачи-вызовы в конце книг по васан. Когда математики васан публиковали книгу, они предлагали в конце своих книг нерешённые задачи. Преуспевший в их решении публиковал своё решение, приводя в конце книги другие задачи-вызовы. Попытка Сэки улучшить алгебраические вычисления была тоже сделана в ходе решения подобной задачи-вызова. Второе обстоятельство — это сангаку: деревянные таблички математиков. Когда люди находили интересные свойства, или решали сложные задачи, они записывали их в виде задач, оформленных на деревянных дощечках, и посвящали их храмам. Там эти дощечки подвешивались под крышей. Большинство этих задач были геометрическими, и были выполнены в виде прекрасных цветных рисунков. Это был один из методов публикации открытий или предложения новых задач.
Феодальное правительство Японии закрыло страну на время периода Эдо. Но в начале эры Мэйдзи (1868-1912) новое правительство открыло страну и приняло в качестве школьной системы западную математику. Результатом стал закат васан. В данной статье мы дадим краткое описание математики васан и покажем её современное состояние. Для более глубокого изучения см. [Mikami, 1913] и [Smith and Mikami, 1914].
Грубо говоря, васан накрывает часть анализа, теории чисел, комбинаторики и геометрии. Популярные в васан темы — площади кругов, длины дуг, объёмы пересечений объёмных тел, решения неопределённых уравнений и магические квадраты. Наряду с ними, математики васан изучали астрономию, геодезию и множество аспектов искусства прорицания. Хотя они глубоко постигли определённые аспекты некоторых вещей, они не создали теоретических систем. К примеру, эллипсы изучались часто, а гиперболы и параболы — нет. Также, часто рассматривались ромбы, но не параллелограммы (за парой исключений). Поскольку почти все книги по васан были написаны в виде задачников, следуя традиции китайских математических книг, не было необходимости разрабатывать особые темы. С другой стороны, остались книги по васан, разрабатывавшие особые темы (Окумура, 1999). Основная масса геометрических задач была направлена на нахождение определённых параметров геометрических фигур — таких, как радиус окружности, большая (или малая) ось эллипса, сторона квадрата, и т.д.
Рассмотрим некоторые примеры. На рисунке 1 показан магический круг, аналогичный магическому квадрату (Сэки). Он состоит из n концентрических окружностей и n прямых, проходящих через центр. Натуральные числа от 1 до 2n2+1 расположены на их пересечениях так, что сумма чисел, расположенных на любой окружности и в центре, равна сумме чисел, расположенных на любой из этих прямых. Эта идея взята из предшествующих китайских книг. Сэки приводит общую конструкцию магических кругов.
На ранних этапах развития васан популярными были задачи на нахождение площади круга и длины дуги окружности. На следующем же этапе чаще рассматривались объёмы пересечений трёхмерных тел. На рисунке 2 показана задача Вивиани в васан: сфера радиуса r пронзается двумя цилиндрами радиуса r/2 так, как показано. Найти объём и площадь поверхности остающейся части (Учида, 1844).
Задачи сангаку могут быть весьма полезны и интересны на школьных занятиях. Но похоже, что задачи сангаку остаются привлекательными и для современных математиков, поскольку они достаточно сложны и вызывающи. Рассмотрим две такие задачи.
Задача 1. 5 окружностей трёх различных размеров соприкасаются так, как показано на рисунке 3. Зная радиус самой большой окружности, найти радиус средней (библиотека префектуры Сайтама, 1969). Ответ состоит в том, что радиус средней окружности равен половине радиуса большой.
Задача 2. В квадрате PQRS две окружности касаются SP и окружности, вписанной в этот квадрат, причём одна из них касается PQ, а другая касается RS. Пусть A — точка касания QR и вписанной окружности, и пусть проходящие через A касательные двух этих малых окружностей пересекают сегмент SP в точках B и C, как показано на рисунке 4. Зная радиус большой окружности, найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Ответ состоит в том, что радиус средней окружности здесь тоже равен половине радиуса большой.
Большинство задач сангаку предлагаются, как задачи с известным ответомм. При этом не даётся объяснений, как к этому решению придти. Поэтому нужны определённые усилия, чтобы решить задачу, найдя процесс, приводящий к ответу. С другой стороны, иногда исходя из фигур сангаку можно найти интересные свойства и интересные конфигурации. Пример этому можно найти в (Okumura, 1997). Здесь мы приведём несколько таких примеров, используя две задачи сангаку, упомянутые в предыдущем разделе.
В задаче 1 из трёх малых равных окружностей две лежат в области, ограниченной касательными и средней окружностью, а третья — в области, ограниченной двумя крупнейшими окружностями и одной из касательных. Задача говорит, что тогда отношение радиусов двух крупнейших окружностей равно 2. Рассматривая эту задачу, мы нашли следующий удивительный факт (Okumura, Sodeyama, 1998): если даны 2 внешне соприкасающиеся окружности разных радиусов и две их общие касательные, и если даны 4n равных малых окружностей, n из которых лежит в криволинейном треугольнике, образованном этими касательными и средней окружностью, а остальные 3n лежат в одном из криволинейных треугольников, образованном двумя большими окружностями и одной из касательных, как это показано на рисунке 5 (для случаев n=1 и n=2), то отношение радиусов двух крупнейших окружностей равно 4 для любого натурального n.
В задаче 2 PQRS — квадрат. Но если PQRS — ромб (см. рисунок 6), то всё равно можно сделать некий вывод, а именно: что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен половине радиуса окружности, вписанной в PQRS (Okumura, Nakajima, 1998).
Другой интересный результат этой задачи — это фрактал (см. рисунок 7), создание которого основано на том факте, что отношение радиусов двух вышеупомянутых окружностей равно 2. Это пример рекурсивного компьютерного программирования. Примеры с использованием фигур сангаку в компьютерной анимации можно найти в (Okumura, proc. 1999).
Автор полностью согласен со следующими комментариями (Rigby, 1999): возможно, назрела необходимость в книге, основными целями которой были бы: (1) уменьшение нужды повторять доказательства группировкой связанных результатов, (2) упрощение представлений результатов, (3) упрощение доказательств, когда это возможно, (4) обобщение некоторых результатов, которые иногда ведут к сильному внутреннему постижению и к более простым доказательствам.
Большинство книг по васан написано на китайском языке, что делает их чтение крайне сложным для рядового современного японца. Вдобавок, книги по васан имеют недостаточную ценность, что делает их крайне дорогими, а возможность найти их в книжном магазине — крайне сложной. Даже если мы и в состоянии найти библиотеку, в которой собраны некоторые материалы по васан, то всё равно читать их гораздо сложнее, чем другие математические книги. Перед получением желаемых книг мы вынуждены проходить определённые бюрократические процедуры. Поэтому большинство японцев книг по васан просто не видело. Они знакомы со словом васан, но не знают, к каким задачам оно относится, даже если они — учителя математики. Крайне печально, что васан столь мало популярна в Японии, и мало используется в школьных занятиях.
Существует масса задач васан; некоторые из них интересны, а некоторые — нет. Недавно Фукагава опубликовал книги по задачам васан на японском и английском с соавторами (Fukagawa, Pedoe, 1989; Fukagawa, Sokolowsky, 1994). В этих книгах можно найти интересные задачи. Но сложность с добычей источников васан всё ещё не преодолена. Лишь тот, кто имеет доступ к материалам васан, может заниматься васан в течение длительного периода. Недавно опубликован материал по васан в виде шести CD-дисков (Okumura, 2001). Хотя пояснительная книга и написана на японском, основные данные состоят из картинок в формате JPEG, и поэтому их можно увидеть на большинстве компьютеров с любыми языками. Этот набор покрывает более трёх сотен источников васан. Также, некоторые книги по васан и китайской математике можно найти на сайте Университета Киото. Есть, также, и несколько англоязычных сайтов, на которых можно найти некоторые задачи сангаку. Найти их можно, набрав в любом поисковике ключевое слово sangaku. Теперь достать материалы васан легче, чем ранее, но многие аспекты васан всё равно требуют изучения — как исторического, так и математического.
