Сангаку: размышления о феномене
Год за годом
На лице обезьяны
Обезьянья маска
Мацуо Басё
(1644-1694)
Сангаку - это, зачастую цветные, деревянные дощечки, выставляемые в синтоистских святилищах (а иногда и в буддийских храмах) в Японии, и изображающие математические задачи. Самые ранние сангаку несколькими годами старше эпохи Эдо (1603-1867) - времени самоизоляции Японии от стран Запада. Большинство статей о феномене сангаку на английском основаны или на статье Тони Ротмана в Scientific American, написанной им в соавторстве с Фукагавой Хидэтоси, японским учителем, имеющим докторскую степень по математике, или на книге Х. Фукагавы и Д. Педоэ. В предисловии к своей статье Ротман пишет:
Из несчётного множества мировых обычаев и традиций, возможно, ни одно не сравнимо по элегантности и красоте с традицией сангаку - японской храмовой геометией. С 1639 по 1854 год Япония жила в жёсткой самоизоляции от Запада. Доступ ко всем формам западной культуры пресекался, и приток научных идей с Запада был эффективно сокращён. Именно в этот период изоляции и расцвела национальная разновидность математики.
Поклонники математики, обычно - самураи, купцы или крестьяне, могли решать многочисленные геометрические задачи, оформлять свои усилия на тонко раскрашенных деревянных дощечках и вывешивать эти изделия под крышами религиозных зданий. Изготовления этих сангаку, что дословно означает математическую дощечку, могли быть проявлениями уважения - благодарности к руководящему духу - или же бросания вызова другим поклонникам: "реши это, если сможешь!". В основном, сангаку имели дело с обычной евклидовой геометрией. Но задачи эти резко отличались от тех, что можно встретить в типичном курсе геометрии в высшей школе. Окружности и эллипсы играли в них гораздо более значимую роль, чем в западных задачах: окружности, вписанные в эллипсы, и эллипсы в окружностях. Некоторые из них весьма просты и могут быть решены студентами первого курса. Другие же практически невероятны, и современные геометры неизменно штурмуют их с помощью продвинутых методов, включая методы вычисления и аффинные преобразования.
Демонстрируя задачу сангаку, авторы известного сборника задач Как едет велосипед? цитируют книгу Фукагавы и Педоэ:
Большую часть эпохи Эдо (1603-1867) Япония была практически полностью отрезана от Запада. Книг по математике, если они вообще и попадали в Японию, было ничтожно мало, и тем не менее весь этот длительный период изоляции люди всех социальных слоёв, от крестьян до самураев, открывали теоремы по евклидовой геометрии, ярко отличавшиеся от открывавшихся на Западе в века схизмы, а зачастую - опережавшие их на много лет.
Эти теоремы не публиковались в книгах, а появлялись в виде прекрасных цветных рисунков на деревянных дощечках, которые подвешивались под крышей в притворах святилищ и храмов
Примечательно, что там, где Ротман отмечает разницу между сангаку и задачами школьной геометрии, Педоэ противопоставляет сангаку геометрии, "создававшейся на Западе". Я верю, что в целом тенденция преувеличения значимости феномена сангаку растёт с каждой последующей работой. К примеру, Чад Бутин начинает свою статью в News@Princeton так:
Наверное, неудивительно, что судоку - числовые головоломки, с которыми в наши дни, похоже, знакомы все, - прежде, чем распространиться за океаном, стали популярны в Японии. Эта причуда напоминает о математическом безумии, охватившем эти острова столетия назад, когда пылкие энтузиасты заходили так далеко, что претворяли самые прекрасные геометрические решения в отлично иллюстрированные деревянные дощечки, называемые сангаку, которые украшали стены местных храмов и святилищ.
Прежде, чем продолжить, я хочу уверить читателя в том, что глубоко ценю качество и красоту многих задач сангаку. В конце этой страницы приведён список задач, обсуждаемых на этом сайте. Я лишь задаюсь вопросом о правдоподобности исторической картинки, которую рисуют приведённые цитаты. Я крайне сомневаюсь, что что эта практика была широко распространена, и что на неё сильно повлияла атмосфера изоляции. Возможно, это верно насчёт того, что в этот же период формой народной деятельности стали хайку. Обычно в качестве причины роста статуса хайку в японской культуре приводится деятельность двух мастеров (Мацуо Басё и Оницура), поднявших хайку на новые высоты искусства. Но я нигде не видел, чтобы взлёт хайку соотносили с особенностями этой эпохи. Сакоку - ограничение притока интеллектуальных стимулов в этот период самоизоляции - могло породить рост концентрации на развитии самобытности.
Во-первых, задачи сангаку писались на камбун - китайской письменности для японской аудитории. Хотя Япония и могла похвастать высоким уровнем грамотности даже в эпоху Эдо, камбун оставался японским аналогом латыни с очевидными из этого следствиями. Как отмечено в [1],
... Камбун ... в состоянии читать лишь небольшое число современных японцев.
А в [2] отмечается, что:
Cангаку писались на языке, называемом камбун, использовавшем китайские иероглифы и преимущественно китайскую грамматику, но включали отличительные отметки, имевшие японские смыслы. Камбун играл роль, схожую с ролью латыни на Западе, и его употребление в сангаку указывало на то, что решающий задачи имел высокую образованность. Фактически, большинство авторов, похоже, принадлежали к классу самураев.
Поэтому сложно поверить в то, что в эпоху Эдо камбун был широко известен.
Во-вторых, сакоку продолжалось чуть более 200 лет, с 1647 до 1854 года. (Традиция сангаку чуть древнее, так что я оцениваю её длительность примерно в 250 лет.) В Европе в первое столетие сакоку наблюдалось развитие вычислений, но не геометрии, за исключением, возможно, небольшого числа результатов Эйлера. Во вторую половину сакоку в Европе осталось много документированных примеров (например, вклад Весселя в комплексные числа) того, как важные математические результаты математическим сообществом не замечались, или же независимо открывались в разных уголках континента. Так что гневные сентенции по поводу "веков схизмы" не вполне верны. В любом случае, плодородность сангаку демонстрирует эффективность популяризации. Достигая широких масс через прекрасные и таинственные деревянные дощечки, вывешенные в местах богослужений и скоплений народа, математики получали базу в японской культуре. Но даже и это продолжалось недолго. В XX веке традиция сангаку была почти полностью забыта.
В своей биографии Х.М.С.Коксетера Сёбхан Робертс цитирует переписку (2003-5 гг.) с Кодзи Миядзаки, автором 35 книг по различным аспектам геометрии: "Мы, японцы, изначально геометрическую логику не любим, и если бы не понятная геометрия Коксетера, то мы, японцы, так и не узнали бы морфологического содержания этих вещей. Японская версия его книги 'Введение в Геометрию' дала большой импульс множеству японцев, включая меня".
В третьих, говорится также, что:
В эту эпоху Япония прогрессивно изучала западные науки (называвшиеся рангаку, дословно - 'голландские науки') по информации и книгам, получаемым через голландских торговцев в Дэхима. Основными изучавшимися областями были: география, медицина, естественные науки, астрономия, искусство, языки, физические науки (такие, как изучение феномена электричества) и механические науки (примером которых может служить развитие японских часов - вадокэй, вдохновлённое западными технологиями).
Отсюда я заключаю, что японцы немногое потеряли, по крайней мере - в первое столетие изоляции.
В четвёртых, другая проблема этих цитат - в том, что в эпоху Эдо население было разделено на 4 класса: наверху - самураи (около 5% населения), на втором уровне - крестьяне (более 80% населения), ниже - ремесленники, а ниже всех, на четвёртом уровне - торговцы. Поэтому, возможно, выражение '... люди всех социальных слоёв, от крестьян до самураев, открывали теоремы ...' не вполне точно и, вероятно, неправильно выражает намерение автора указать на широкую популярность сангаку. Оно явно накрывает не все слои японского социума того времени.
В пятых, в середине XVIII века население Эдо - будущего Токио - достигало 1.000.000 человек. Население Киото и Осака составляло примерно по 400.000 человек. С другой стороны, наибольшее число дошедших до наших дней сангаку, которое я встречал, равно 880. Некоторые из задач еле различимы. Тот, кто не знает их достаточно хорошо, может ошибиться, глядя на плоскую деревянную дощечку. Я думаю, что оценка числа всех сангаку, созданных в период изоляции, в 5000, достаточно адекватна, если не преувеличена. Получается, что в среднем, за 250 лет сакоку, создавалось примерно 20 сангаку в год. Это выглядит скорее, как возможный результат деятельности небольшой группы последователей, нежели широкого населения, как подразумевают цитаты ("люди всех социальных классов").
Более позднее исправление: в главе 7 новой книги Фукагавы и Ротмана рассказывается история Кадзан Ямагучи - японского математика, совершившего 6 "паломничеств сангаку" по храмам страны в период с 1817 по 1828 год. Дневник Ямагучи - это 700 страниц, на которых задокументированы 87 сангаку, из которых лишь 2 дошли до наших дней. Используя "фактор выживания" 87/2, вычисления приводят к
В шестых, многие из доживших до наших дней сангаку укладываются в группы связанных задач: смотри, к примеру, Последовательности касающихся окружностей, Sangaku with a Mixtilinear Circle, или Окружности в сегменте круга (в предисловии к [1] делается предположение, что к концу эпохи изоляции имел место несомненный плагиат). Связанные задачи появлялись не только в разных святилищах, но и в разных префектурах. Это указывает, что плодовитость сангаку была связана с путешествиями - или странствующей школы, или отдельных людей.
Эти мысли не следует толковать, как недостаточно высокую оценку феномена сангаку или отдельных задач. Многие из этих задач, которые я видел, чаруют своей элегантностью. Я не думаю, что им нужна какая-нибудь дополнительная мистификация. Их можно полностью заценить за то, чем они являются.
В книге 1914 года Д.Е.Смит и Й. Миками упоминают храмовую геометрию в более возвышенной манере (стр. 184):
Сын Фудзиты, Фудзита Кагэн (1765-1821) тоже был обещающим математиком. В 1790 году он опубликовал свою работу Симпэки Сампо (математические задачи, вывешенные перед храмом), а в 1806 году - продолжение, Дзоку Симпэки Сампо. Значимость его имени видна в том факте, что эта работа содержала коллекцию задач, которые вывешивались перед разными храмами некоторыми математиками между 1767 годом и временем написания работ Фудзиты, и их решения. Этот странный обычай вывешивать задачи перед храмами брал исток в XVII веке, и длился более двух столетий. Возможно, он возник из желания молитвы или одобрения богов, или из того, что это был удобный метод публикации открытия, или из желания бросить другим вызов решить задачу, наподобие тому, как студенты в средневековой Европе вывешивали тезисы на дверях церкви.
Ценное замечание: Джин Констант, современный художник, вдохновился этими табличками на создание многих чудесных произведений, которые он выставил в нескольких он-лайн галереях.
Copyright © 1996-2009 Alexander Bogomolny
eng->rus: Д.К. (shogi.ru), 16.1.9